Option mathématiques du contrôleur des douanes : exercices

Le programme à réviser est celui de l’annexe de l’arrêté du 8 juin 2009, relue le 9 octobre 2026. Elle nomme six chapitres, dans l’ordre ci-dessous.

Les six exercices qui suivent sont des données pédagogiques construites pour cette page. Ce ne sont pas des annales : l’arrêté ne publie aucun sujet type. Chaque corrigé reste dans un chapitre dont l’intitulé a été relu. Quand un calcul s’appuie sur une définition usuelle que l’annexe ne rédige pas (dérivée d’un monôme, point moyen, espérance d’une loi équiprobable), la phrase le dit, au lieu de la faire passer pour une citation.

Énoncé. Soit f la fonction définie par f(x) = x^2 - 4x + 3. Calculer f'(x), le signe de f'(x), la valeur f(2), les racines de f, et la limite de f(x) quand x tend vers +∞.

Corrigé. L’annexe met les dérivées des polynômes au programme, sans imprimer le tableau des dérivées usuelles. On utilise ici ce tableau, et on le contrôle par le développement, pas en le citant comme une phrase de l’arrêté.

La dérivée de x^2 est 2x, celle de -4x est -4, celle de la constante 3 est nulle. Donc f'(x) = 2x - 4 = 2(x - 2).

Ce produit est négatif quand x est inférieur à 2, nul en 2, positif quand x est supérieur à 2. La fonction décroît jusqu’à 2, puis croît.

f(2) = 4 - 8 + 3 = -1.

On factorise : x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3). Les racines sont 1 et 3. On vérifie : f(1) = 1 - 4 + 3 = 0, et f(3) = 9 - 12 + 3 = 0.

Pour la limite, x différent de 0 : f(x) = x^2 (1 - 4/x + 3/x^2). Quand x tend vers +∞, le facteur entre parenthèses tend vers 1 (les deux fractions tendent vers 0), et x^2 tend vers +∞. Le produit tend vers +∞. C’est un calcul d’opérations sur les limites, chapitre que l’annexe nomme.

Énoncé. Soit h la fonction définie par h(x) = x. Elle est positive sur l’intervalle [0 ; 2]. Donner une primitive, puis l’intégrale de 0 à 2, l’intégrale de 0 à 1 et celle de 1 à 2. Comparer l’intégrale de h et l’intégrale de la fonction constante égale à 2, sur le même intervalle.

Corrigé. L’annexe définit l’intégrale à partir d’une primitive, et elle nomme l’aire sous la courbe d’une fonction positive. Une primitive de h est H(x) = x^2 / 2, parce que la dérivée de x^2 / 2 est x.

Intégrale de 0 à 2 : H(2) - H(0) = 4/2 - 0 = 2.

Intégrale de 0 à 1 : H(1) - H(0) = 1/2.

Intégrale de 1 à 2 : H(2) - H(1) = 2 - 1/2 = 3/2.

La somme des deux morceaux vaut 1/2 + 3/2 = 2, c’est-à-dire l’intégrale entière. C’est la relation de Chasles du calcul intégral, à ne pas confondre avec la relation de Chasles des vecteurs, qui est au chapitre de géométrie.

Sur [0 ; 2], h(x) = x est inférieure ou égale à 2. L’intégrale de la constante 2 vaut 2 × 2 = 4 (une primitive est 2x, et 2×2 - 2×0 = 4). On a bien 2 ≤ 4 : dans cet exemple, la fonction la plus petite a l’intégrale la plus petite. L’annexe nomme cette propriété d’ordre, elle n’en écrit pas l’inégalité générale.

La linéarité se voit sur la somme. Intégrale de x + 2, de 0 à 2 : une primitive est x^2 / 2 + 2x, qui vaut 2 + 4 = 6 en 2, et 0 en 0. Et 2 + 4 = 6, somme des deux intégrales.

La valeur moyenne est nommée par l’annexe sans formule imprimée. Ce corrigé ne la reconstruit pas. L’intégrale calculée ici vaut 2 : c’est le nombre que le programme associe à l’aire sous cette courbe positive, via la primitive.

Énoncé. On dispose de trois livres distincts, notés A, B et C.

1. ▸Lister les façons de les ranger tous les trois (permutations).
2. ▸Lister les façons d’en choisir deux, en tenant compte de l’ordre (arrangements), puis sans tenir compte de l’ordre (combinaisons).
3. ▸Trois copies ont pour notes 10, 10 et 14. Donner les effectifs et les fréquences.
4. ▸Trois points : (1 ; 2), (2 ; 3), (5 ; 7). Placer le point moyen, avec la convention précisée dans le corrigé.

Corrigé. L’annexe dit « arrangements, permutations, combinaisons » et « applications », sans imprimer les formules en factorielles. On liste.

Permutations : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Il y en a 6.

Arrangements de deux livres : AB, AC, BA, BC, CA, CB. Il y en a 6. L’ordre compte : AB et BA sont deux résultats.

Combinaisons de deux livres : {A, B}, {A, C}, {B, C}. Il y en a 3. L’ordre ne compte plus.

Notes : la valeur 10 apparaît 2 fois, la valeur 14 apparaît 1 fois, sur un total de 3. Effectifs : 2 et 1. Fréquences : 2/3 et 1/3. La somme des fréquences vaut 1.

Point moyen : l’annexe le nomme, elle n’écrit pas sa définition. La convention usuelle, qui n’est pas une phrase de l’arrêté, est le point dont l’abscisse est la moyenne des abscisses et l’ordonnée la moyenne des ordonnées.

Moyenne des abscisses : (1 + 2 + 5) / 3 = 8/3.

Moyenne des ordonnées : (2 + 3 + 7) / 3 = 12/3 = 4.

Le point moyen est (8/3 ; 4).

L’ajustement affine par moindres carrés est au programme. Sa formule n’est pas imprimée dans l’annexe : on ne trace pas de droite d’ajustement ici. Les repères semi-logarithmiques sont nommés de la même façon, sans mode d’emploi chiffré.

Énoncé. Une urne contient 3 boules : 2 blanches et 1 noire. On tire une boule, on ne la remet pas, on en tire une seconde.

1. ▸Probabilité de tirer deux blanches.
2. ▸Probabilité que la seconde boule soit blanche.
3. ▸Sachant que la seconde est blanche, probabilité que la première l’ait été.
4. ▸Pour un dé équilibré à 6 faces, calculer la moyenne des issues, et dire ce que ce calcul n’est pas.

Corrigé. L’annexe ouvre les probabilités par les « espaces probabilisé finis » (c’est l’accord imprimé) et donne l’exemple des urnes. Elle demande les arbres, le conditionnement par un événement de probabilité non nulle, et la formule des probabilités totales.

Premier tirage blanc : 2/3. Il reste alors 1 blanche sur 2 boules, donc 1/2. Deux blanches : (2/3) × (1/2) = 1/3.

Les quatre chemins de l’arbre :

• ▸blanche puis blanche : (2/3) × (1/2) = 1/3 ;
• ▸blanche puis noire : (2/3) × (1/2) = 1/3 ;
• ▸noire puis blanche : (1/3) × 1 = 1/3, puisqu’il ne reste que des blanches ;
• ▸noire puis noire : 0, il n’y a qu’une noire.

Somme : 1/3 + 1/3 + 1/3 + 0 = 1.

Seconde blanche : les chemins « blanche puis blanche » et « noire puis blanche », soit 1/3 + 1/3 = 2/3. C’est la formule des probabilités totales : (2/3) × (1/2) + (1/3) × 1 = 1/3 + 1/3 = 2/3.

Sachant la seconde blanche, la première était blanche avec la probabilité (1/3) / (2/3) = 1/2. Au départ, la première blanche valait 2/3 : le renseignement sur le second tirage change ce nombre. L’événement « seconde blanche » a une probabilité non nulle (2/3), le conditionnement est donc permis par la ligne du programme.

Sans remise, le second tirage n’a pas les mêmes probabilités que le premier. Ce n’est pas une répétition de la même épreuve de Bernoulli. L’annexe nomme les expériences de Bernoulli et les lois binomiales ; elle n’imprime pas la formule de la loi binomiale. On ne l’écrit pas.

Dé équilibré : chaque face a la probabilité 1/6. La somme des issues est 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. La moyenne est 21/6 = 7/2. L’annexe nomme l’espérance d’une loi numérique sans écrire sa formule : 7/2 est cette moyenne dans le cas équiprobable, pas une citation. La variance est nommée, sans expression imprimée : on ne la calcule pas.

Énoncé.

1. ▸La suite (u_n) part de u_0 = 1, et chaque terme vaut le précédent plus 3. Écrire les cinq premiers termes. Dire si la suite est croissante, si elle est minorée, si elle est majorée.
2. ▸La suite (v_n) part de v_0 = 8, et chaque terme vaut la moitié du précédent. Écrire les cinq premiers termes, puis v_10. Dire si la suite est décroissante et si elle est bornée.

Corrigé. L’annexe nomme les suites monotones, majorées, minorées, bornées et convergentes. Au chapitre V (ii), elle nomme déjà les suites arithmétiques, les suites géométriques et les suites vérifiant une relation de récurrence. Les deux suites de l’énoncé sont définies en toutes lettres.

Suite (u_n) : 1, puis 4, 7, 10, 13. C’est u_0 à u_4. L’écart entre deux termes qui se suivent est toujours 3 : c’est le sens usuel d’une suite arithmétique, sens que l’annexe ne rédige pas. Chaque pas ajoute 3, donc la suite est croissante. Tous les termes sont au moins égaux à 1 : elle est minorée par 1. Elle n’est pas majorée : à partir de 1, on dépasse n’importe quel nombre fixé en ajoutant 3 assez souvent, donc les termes de cette suite ne se rapprochent pas d’une valeur fixe. L’annexe ne donne pas de critère de convergence : on s’en tient à ce constat sur les termes.

v_0 = 8, v_1 = 4, v_2 = 2, v_3 = 1, v_4 = 1/2. Chaque terme est la moitié du précédent, et tous sont positifs : la suite est décroissante. Elle est minorée par 0 et majorée par 8, donc bornée.

Dix pas de division par 2 : v_10 = 8 / 2^10. Or 2^10 = 1024, donc v_10 = 8/1024 = 1/128. Le terme suivant serait encore la moitié. Les termes diminuent et restent positifs. On ne transforme pas ce calcul en un théorème de convergence que l’annexe n’écrit pas.

Énoncé. Dans l’espace, A(1 ; 0 ; 0), B(1 ; 2 ; 0), C(1 ; 0 ; 3) et D(1 ; 2 ; 3).

1. ▸Vérifier que les quatre points sont sur le plan d’équation x = 1.
2. ▸Calculer les vecteurs AB et AC. Sont-ils colinéaires ?
3. ▸Calculer la distance AB.
4. ▸Calculer BC, puis AB + BC, et comparer à AC.

Corrigé. L’annexe demande les équations cartésiennes de plans ou de droites. Les quatre points ont pour première coordonnée 1. Ils vérifient donc l’équation x = 1. Quatre points d’un même plan sont coplanaires : c’est le mot du programme, appliqué à un plan dont on a l’équation.

AB = (1 - 1 ; 2 - 0 ; 0 - 0) = (0 ; 2 ; 0).

AC = (1 - 1 ; 0 - 0 ; 3 - 0) = (0 ; 0 ; 3).

Ils ne sont pas colinéaires. Un vecteur colinéaire à AC serait de la forme (0 ; 0 ; 3k). La deuxième coordonnée de AB vaut 2, qui n’est pas 0. Aucun nombre k ne convient. L’annexe nomme les vecteurs colinéaires sans écrire ce critère : on l’emploie ici comme le sens usuel du mot, « l’un est un multiple de l’autre ».

Distance AB : le vecteur AB vaut (0 ; 2 ; 0). La somme des carrés des composantes est 0 + 4 + 0 = 4. Le nombre positif dont le carré vaut 4 est 2. La distance AB vaut 2. L’annexe dit « calcul d’une distance AB » sans imprimer la formule : le calcul ci-dessus est celui qu’on fait, pas une citation.

BC = (1 - 1 ; 0 - 2 ; 3 - 0) = (0 ; -2 ; 3).

AB + BC = (0 ; 2 ; 0) + (0 ; -2 ; 3) = (0 ; 0 ; 3) = AC.

C’est la relation de Chasles du calcul vectoriel : aller de A à C, c’est aller de A à B puis de B à C. L’orthogonalité de deux vecteurs est nommée dans la même ligne du programme, sans critère imprimé. On ne la décide pas par un produit scalaire que le texte ne donne pas.

L’option mathématiques du contrôleur des douanes, concours externe, est l’option a de l’écrit d’admissibilité n° 2 : résolution d’un ou plusieurs problèmes, 3 heures, coefficient 4, dans les deux branches. L’article 6, lu le 9 octobre 2026, dit : « Les choix de l’option à l’épreuve écrite d’admissibilité n° 2 des concours externes et internes et le choix des épreuves de langue étrangère des épreuves d’admissibilité et d’admission (complété de la mention de la langue) sont exprimés par le candidat lors du dépôt de sa demande de participation. Ces choix ne peuvent plus être modifiés après la date de clôture des inscriptions. »

L’annexe du même arrêté, relue le 9 octobre 2026, tient en six chapitres : fonctions numériques, calcul intégral, dénombrement et statistiques, probabilités, suites, géométrie dans l’espace.

On peut s’entraîner tout de suite sur un polynôme et sa dérivée, une intégrale lue sur une primitive, un dénombrement par liste, une urne sans remise, deux suites définies de proche en proche, et quatre points d’un plan d’équation x = 1.

On n’invente pas la formule de la valeur moyenne, celle des moindres carrés, celle de la loi binomiale, ni celle de la variance : l’annexe les nomme, elle ne les écrit pas.