Loyers, population et emprunt : suites et pourcentages

Sujet

Vous résoudrez les trois problèmes suivants. Toute réponse doit être justifiée ; la calculatrice n'est pas autorisée. Problème 1 : Deux baux. En 2026 (année 0), un locataire paie un loyer mensuel de 500 euros. On lui propose deux contrats. Avec le bail A, le loyer mensuel augmente de 20 euros chaque année ; on note u_n le loyer mensuel n années après 2026. Avec le bail B, le loyer mensuel augmente de 4 % chaque année ; on note v_n le loyer mensuel n années après 2026. a) Précisez la nature de chacune des suites (u_n) et (v_n) et exprimez u_n et v_n en fonction de n. b) Calculez u_2 et v_2. Quel bail est le moins cher la deuxième année ? Que constate-t-on pour n = 1 ? c) Calculez la somme u_0 + u_1 + ... + u_9, puis la somme totale des loyers payés en dix ans avec le bail A (douze mensualités par année). d) Le taux d'évolution annuel du loyer est-il constant avec le bail A ? Justifiez en comparant le taux de la première et de la deuxième année. e) Démontrez que v_n est supérieur ou égal à u_n pour tout entier naturel n (on pourra utiliser l'inégalité 1,04^n ≥ 1 + 0,04 n, valable pour tout n entier naturel). Problème 2 : Évolution d'une population. Une commune compte 25 000 habitants en 2026 (année 0). a) Sa population augmente de 25 % une année, puis baisse de 20 % l'année suivante. Calculez le taux d'évolution global sur les deux années. Un élève affirme que la population a augmenté de 5 % : expliquez son erreur. b) Dans une commune voisine, la population est multipliée par 1,44 en deux ans. Quel est le taux d'évolution annuel moyen sur ces deux années ? c) Indépendamment de la question a), on suppose que la population de la première commune augmente de 20 % par an à partir de 2026. On note P_n la population n années après 2026. Exprimez P_n en fonction de n et calculez P_1, P_2 et P_3. En utilisant 1,2^3 = 1,728 et 1,2^4 = 2,0736, déterminez le nombre minimal d'années au bout duquel la population aura au moins doublé. d) La commune construit 100 logements la première année, puis chaque année 20 % de plus que l'année précédente. Combien de logements sont construits en trois ans ? Retrouvez le résultat avec la formule de la somme des termes d'une suite géométrique. Problème 3 : Un emprunt à annuités constantes. Une personne emprunte 5 000 euros au taux annuel de 10 %. Elle rembourse chaque année, à la date anniversaire, une annuité constante de 1 000 euros. On note C_n le capital restant dû après le versement de la n-ième annuité, avec C_0 = 5 000. a) Justifiez que C_(n+1) = 1,1 C_n - 1 000, puis calculez C_1, C_2 et C_3. b) On pose w_n = C_n - 10 000. Démontrez que (w_n) est une suite géométrique dont vous préciserez le premier terme et la raison. En déduire que C_n = 10 000 - 5 000 × 1,1^n. c) On donne les valeurs exactes 1,1^7 = 1,9487171 et 1,1^8 = 2,14358881. Montrez que sept annuités de 1 000 euros ne suffisent pas à rembourser l'emprunt, mais que le capital serait entièrement remboursé avant une huitième annuité de 1 000 euros. À 1 euro près, quel est le montant de la huitième et dernière annuité ? d) À 1 euro près, quel est le total versé et le coût total des intérêts ?

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