Probabilités et statistiques : contrôles et délais de traitement

Sujet

Vous traiterez les trois problèmes suivants. Toute réponse doit être justifiée. La calculatrice n'est pas autorisée : les résultats seront donnés sous forme exacte (fraction ou décimal simple). Problème 1 : contrôle de conteneurs. Au port fictif de Valmarine, les conteneurs contrôlés proviennent de trois expéditeurs. 50 % viennent de l'expéditeur A, 30 % de l'expéditeur B et 20 % de l'expéditeur C. Un conteneur de A est non conforme avec la probabilité 0,02, un conteneur de B avec la probabilité 0,05 et un conteneur de C avec la probabilité 0,10. On choisit au hasard un conteneur contrôlé. On note A, B, C les événements « le conteneur vient de A (respectivement B, C) » et N l'événement « le conteneur est non conforme ». a) Représentez la situation par un arbre pondéré. b) Calculez P(A ∩ N), P(B ∩ N) et P(C ∩ N). c) Énoncez la formule des probabilités totales, puis calculez P(N). d) Le conteneur choisi est non conforme. Quelle est la probabilité qu'il vienne de C ? Exprimez le résultat sous forme de fraction irréductible. e) Les événements A et N sont-ils indépendants ? Justifiez. Problème 2 : vérification de déclarations. Un agent vérifie 5 déclarations en douane tirées au hasard. On admet que chaque déclaration est irrégulière avec la probabilité 0,2, indépendamment des autres. On note X le nombre de déclarations irrégulières parmi les 5. a) Justifiez que X suit une loi binomiale et précisez ses paramètres. b) Calculez P(X = 0) et P(X = 1) sous forme de fractions de dénominateur 3 125. c) En déduire la probabilité d'obtenir au moins deux déclarations irrégulières. d) Calculez l'espérance et la variance de X. Interprétez l'espérance dans le contexte. e) Quelle est la probabilité qu'au moins une déclaration soit irrégulière ? Donnez la valeur décimale exacte. Problème 3 : délais de traitement. Deux bureaux, P et Q, ont relevé le délai de traitement (en minutes) de huit dossiers. Bureau P : 10 ; 12 ; 14 ; 15 ; 15 ; 16 ; 18 ; 20. Bureau Q : 5 ; 8 ; 12 ; 15 ; 15 ; 18 ; 22 ; 25. a) Calculez la moyenne de chaque série. b) Déterminez la médiane de chaque série. c) Calculez la variance de chaque série (moyenne des carrés des écarts à la moyenne) et donnez un encadrement de l'écart-type par deux entiers consécutifs. d) Déterminez le premier et le troisième quartile de chaque série, puis l'écart interquartile. On utilisera la définition suivante : le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales ; le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. e) Comparez les deux bureaux et concluez : lequel traite ses dossiers de façon la plus régulière ? Justifiez. Vous composerez sur ce sujet.

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