Géométrie : parc d'inspection, balises de surveillance et cuve de stockage

Sujet

Les trois problèmes sont indépendants. Aucune figure n'est fournie : faites-en une au brouillon d'après la description. Justifiez chaque réponse. La calculatrice est autorisée pour les valeurs approchées ; donnez d'abord les résultats exacts. PROBLÈME 1 : parc d'inspection. Un parc d'inspection des poids lourds a la forme d'un triangle ABC rectangle en A, avec AB = 60 m et AC = 80 m. Le point M est placé sur le segment [AB] à 24 m de A. La droite parallèle à (AC) passant par M coupe le segment [BC] en N. Une clôture longe le segment [MN] et sépare le parc en deux zones : le triangle BMN, réservé aux véhicules en attente, et le quadrilatère ACNM, réservé à l'inspection. a) Calculez la longueur BC. b) Calculez BM, puis, en justifiant, les longueurs MN et BN. En déduire NC. c) Calculez le périmètre et l'aire de la zone d'inspection ACNM. d) Déterminez, au dixième de degré près, la mesure de l'angle ABC, puis celle de l'angle ACB. PROBLÈME 2 : balises de surveillance. Le plan d'un secteur côtier est muni d'un repère orthonormé (O ; i, j), l'unité étant le kilomètre. Quatre balises occupent les points A(1 ; 2), B(5 ; 4), C(7 ; 0) et D, où D est le point tel que ABCD (sommets pris dans cet ordre) soit un parallélogramme. a) Calculez les coordonnées du point D. b) Calculez les coordonnées du centre I du parallélogramme (le milieu de [AC]) et vérifiez que I est aussi le milieu de [BD]. c) Calculez les longueurs AB et BC, puis les produits scalaires des vecteurs AB et BC d'une part, AC et BD d'autre part. Quelle est la nature la plus précise du quadrilatère ABCD ? d) Déterminez une équation cartésienne de la droite (AC). e) Calculez la distance du point B à la droite (AC), puis l'aire de ABCD. PROBLÈME 3 : cuve de stockage. Une cuve de carburant est formée d'un cylindre droit de rayon 1,5 m et de hauteur 4 m, surmonté d'une demi-sphère de même rayon dont la base circulaire coïncide avec la base supérieure du cylindre. La base inférieure du cylindre repose sur le sol. Rappels : volume d'un cylindre πr²h ; volume d'une boule (4/3)πr³ ; aire d'une sphère 4πr². a) Calculez le volume du cylindre, puis celui de la demi-sphère, en valeurs exactes. b) En déduire la contenance totale de la cuve en mètres cubes, valeur exacte puis valeur arrondie au dixième, et en litres arrondie à l'unité. c) Calculez l'aire de la surface extérieure à peindre (paroi latérale du cylindre et dôme ; la base inférieure posée au sol n'est pas peinte), valeur exacte puis arrondie au dixième de m². Un litre de peinture couvre 6 m² : combien de litres faut-il acheter, en entiers ? d) La cuve est remplie aux quatre cinquièmes de sa contenance. Une pompe débite 12 m³ par heure. Calculez, en valeur exacte puis en heures et minutes, la durée de vidange complète du carburant contenu.

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