Fonctions et optimisation : bénéfice d'une entreprise, boîte de volume maximal, équation f(x) = m

Sujet

Vous traiterez les trois problèmes suivants. Toute réponse doit être justifiée. La calculatrice n'est pas autorisée. Problème 1 : bénéfice d'une entreprise. Une entreprise fabrique et vend chaque mois des objets. On note q la quantité produite et vendue, exprimée en milliers d'objets, avec q appartenant à l'intervalle [0 ; 40]. Le coût total de production, en milliers d'euros, est C(q) = q² + 10q + 144. Chaque objet est vendu 50 euros, donc la recette, en milliers d'euros, est R(q) = 50q. a) Exprimez le bénéfice B(q) = R(q) − C(q) et montrez que B(q) = −(q − 4)(q − 36). b) Étudiez le signe de B(q) et déduisez-en les quantités pour lesquelles l'entreprise réalise un bénéfice strictement positif. c) Étudiez les variations de B sur [0 ; 40]. Pour quelle quantité le bénéfice est-il maximal, et quel est ce bénéfice maximal ? d) Le coût moyen est CM(q) = C(q) / q pour q > 0. Montrez que CM(q) = q + 10 + 144/q, étudiez ses variations sur ]0 ; 40] et déterminez le coût moyen minimal. Comparez-le au prix de vente. Problème 2 : une boîte de volume maximal. On dispose d'une feuille de carton carrée de 24 cm de côté. On découpe dans chaque coin un carré de côté x cm (x appartenant à [0 ; 12]), puis on replie les bords pour obtenir une boîte sans couvercle, de forme parallélépipédique. a) Montrez que le volume de la boîte, en cm³, est V(x) = x(24 − 2x)² et que V(x) = 4x³ − 96x² + 576x. b) Calculez V'(x) et montrez que V'(x) = 12(x − 4)(x − 12). c) Dressez le tableau de variations de V sur [0 ; 12]. Pour quelle valeur de x le volume est-il maximal ? Donnez ce volume. d) Montrez que V(x) − 1024 = 4(x − 4)²(x − 16), puis résolvez l'équation V(x) = 1024 sur [0 ; 12]. Que retrouve-t-on ? Problème 3 : étude d'une fonction et équation f(x) = m. On considère la fonction f définie sur [−2 ; 4] par f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5. a) Calculez f'(x), factorisez-la et dressez le tableau de variations de f en précisant les valeurs de f en −2, en −1, en 3 et en 4. b) Montrez que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur [−2 ; 4]. c) Calculez f(0) et f(1), puis donnez un encadrement de α par deux entiers consécutifs. Calculez ensuite f(0,5) et précisez dans quel intervalle de longueur 0,5 se trouve α. d) Soit m un réel. À l'aide du tableau de variations de la question a), déterminez, selon les valeurs de m, le nombre de solutions de l'équation f(x) = m sur [−2 ; 4]. Pour quelles valeurs de m y a-t-il exactement deux solutions ?

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